martes, 1 de abril de 2008

El incremento marginal no es igual a la derivada


Aplicar las matemáticas a la economía me parece una torpeza terrible. La única función que, como mucho, pueden desarrollar es volver a exponer conclusiones a las que ya hemos llegado verbalmente y, en muchos casos, sólo sirven para oscurecer los conceptos y confundirlos.

Sin embargo, permítanme hacer una excepción. Como sabrán estoy respondiendo a Diego Guerrero, un economista (sic) marxista, y necesito aclarar un concepto que él, pese a ser profesor de economía (o quizá precisamente por serlo), parece haber olvidado.

En algunos artículos -y también en las sus críticas a mis posts que más adelante fiskearé- Diego Guerrero descarta el concepto de utilidad marginal al señalar que es estúpido hacer la derivada de la utilidad: Todo el mundo sabe lo que es la utilidad, como también sabe lo que es el amor o el aburrimiento. Pero igual de absurdo es hablar del "amor marginal" o del "aburrimiento marginal" que de la "utilidad marginal". Sencillamente porque lo de "marginal" alude a la derivada matemática de lo total (es decir, de la variable cuantitativa en términos absolutos a la que se aplique)..

Pues bien, este argumento no es sólo económicamente calamitoso, sino también matemáticamente (en realidad, casi la totalidad de sus argumentos son calamitosos, pero éste denota que ni siquiera conoce la materia corrupta que enseña en la Universidad). Pido disculpas por las matemáticas que vienen a continuación, intentaré hacerlo lo menos aburrido posible.

Veamos, matemáticamente hablamos de "incrementos marginales" haciendo alusión a la variación que se produce en una función cuando se incrementa muy poco una de sus variables (en concreto, cuando se incrementa en una unidad). Dado que, como rápidamente comprobaremos, el cálculo de estos incrementos marginales es lento, los economistas matemáticos suelen aproximarlo a través de la derivada. Se trata de un atajo que en matemáticas resulta intolerable pero que, algunos, creen adecuado en economía. En cualquier caso, quiero destacar que matemáticamente el incremento marginal NO es la derivada (y, por supuesto, económicamente tampoco).

Tenemos la siguiente función: F(x)=x2 + ax + b. Siendo x es una variable y "a" y "b" coeficientes.

Si aplicamos un incremento a la función, su valor tomará la siguiente forma (^x es el incremento de x):

F(x+^x) = (x+^x)2 + a(x+^x) +b.
F(x+^x)=x2 + 2x^x + ^x2 + ax + a^x + b

Si queremos calcular el incremento que ha experimentado la función (lo que para los economistas matemáticos vendría a ser el valor marginal) tendremos que efectuar la diferencia entre F(x+^x)-F(x).

Así: ^F=F(x+^x)-F(x)=[x2 + 2x^x + ^x2 + ax + a^x + b] - [x2 + ax + b]= 2x^x + ^x2 +a^x.

Por tanto, ^F=^x(2x+^x+a)

Bien, trasladándolo a la economía matemática, esto viene a significa que la función de utilidad total (F), experimenta un incremento de ^F cuando la cantidad incrementa en un ^x.

Ahora veamos qué ocurre cuando utilizamos la derivada sobre la función. Matemáticamente podemos expresar la derivada como el límite de [F(x+^x)-F(x)]/^x, cuando ^x tiende a 0. Si esto es así, obtendremos el límite de [^x(2x+^x+a)]/^x, cuando ^x tiende a 0. Por tanto, operando tenemos el límite de 2x+^x+a, cuando ^x tiende a 0. Esto es, la derivada de la función F es igual a 2x+a.

Podemos comparar este resultado con el anterior. Vemos como el incremento marginal de una función NO es igual a su derivada, sino que ésta sólo sirve para aproximarlo en aquellos casos en que el incremento ^x tienda a cero.

Utilicemos ahora un ejemplo numérico para verlo más claro.

F(x)=x2+5x+3
^F=F(x+^x)-F(x)=[x2+2x^x + ^x2 +5x +5^x +3]-[x2+5x+3]=^x(^x+2x+5)

Si decimos que el número de productos (x) es 100 y que se incrementan en una unidsd (^x=1), entonces el incremento de la utilidad total (^F), esto es, lo que algunos llaman utilidad marginal, será de 1(1+200+5)=206.

Si efectuamos la derivada de F, tenemos que F`(x)=2x + 5. Si, como hemos dicho, x=100, la derivada de la utilidad total será F`(100)=200+5=205.

Vemos, por tanto, que la utilidad marginal (206) NO es igual a la derivada de la función de utilidad (205). Ésta última es sólo una aproximación que utilizan los economistas matemáticos para reducir el número de operaciones y facilitar su trabajo.

Yo, lo dejo claro, aborrezco de todo este arsenal. Sin embargo, quería demostrar que la utilidad marginal NO es la derivada de la utilidad y, por tanto, cuando Guerrero usa este argumento para ridiculizar la teoría de la utilidad marginal sólo se está dejando en ridículo a él mismo. Como economista y como matemático.